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赌徒“必胜方法”的悖论(转帖)

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楼主
发表于 2015-2-19 08:46:43 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
一个赌场设有“猜大小的赌局,玩家下注后猜“大”或者猜“小,如果输了,则失去赌注,如果赢的话,则获得本金以及0.9倍的利润。 “必胜法”是这么玩的:
(1)押100猜“大”;
(2)如果赢的话,返回(1)继续;
(3)如果输的话则将赌注翻倍后继续猜“大”,因为不可能连续出现“大”,总会有获胜的时候,而且由于赌注一直是翻倍,只要赢一次,就会把所有输掉的钱赢回;
(4)只要赢了,就继续返回(1)。
题目描述的“必胜方法”本身是有问题的:
“必胜方法”里面最重要的一点,是要保证“只要有一次胜利,就可以收回之前输掉的所有赌注,外加利润 X 元”。
题目里,赢的时候只有 0.9 倍利润。如果只是翻倍下注,连续多次失败后的胜利会收不回之前输掉的赌注。
正确的“必胜方法”应当将步骤(3)修改为:
如果输,则下次押注为 ( 连续输掉的资金 + 利润 X 元 ) / 0.9
假设利润为 90 元, 前十次下注应为此数列:

但这要算起来很麻烦,下面姑且把条件改为“如果赢,则获取本金 * 2”来计算。
不妨先赌一把试试:
每局押 100 元,发哥带着 50000 的本金入场
假设每局玩 1 分钟,那么每小时 60 次,每天可以玩 360 次。
那么第一天过去呢,看下发哥战绩如何呢?

看起来战绩不错呢:

天亮时,手里的钱已经有 67500 了,日入一万七,发哥觉得自己似乎找到了生命的真谛,一张丑脸上不禁泛起了微笑。
哦,对了,为了让我们的实验更加严谨,要先商量好,如果万一连续赌输,资金不够支持下一次赌注的时候,采取什么策略。
这里采取的策略时:
下次赌注为全部余下资金,如果赌赢,那么回到(1)押100猜“大”;
采取这种策略的原因是……这样编程比较方便。
转眼又是一天过去了,来看下发哥今天战绩如何吧?
咦,发哥你怎么不到天亮就回来了?
什么,输光光?!
到底发生了什么事?!


可以看到,从第 676 次时,发哥连续遇到了 10 次“小“, 好不容易积攒起来的 8 万财富毁于一旦。
此处应该有掌声。
痛定思痛,在排除了“赌场出老千”的因素以后,发哥总归还是不太甘心的……毕竟连续掷出 10 个“小"实在是很少见。
由于本宇宙的资金已经耗尽,那么我们就派出平行宇宙的发哥再战一百回合吧!

死于第 4 天。
不甘心,再来!

死于第 15 天。
再来!

第 9 天。
再来!
不来了,直接派出 100 个发哥荒野求生吧。
20 年以后, 100 个中,能坚持自己梦想的有几人呢?
结果出来了,先展示一下个人财富 Top 5 吧:

然后放出大饼图:


如图所见,60% 的赌徒会在 5 天左右输光光,而半个月过后,还在继续的赌徒只剩 17% ,如果足够努力,闯入三甲,那账面上最多时会超过 100 万资金。
前三甲以外的朋友们,在 50 天左右全部申请破产。
另外,不得不提一下第一名这种不世出的天才,竟然坚持了 800 多天,巅峰期达到上千万,疯狂玷污实验数据……
咳咳,所以说,实验结论就是,在统计数据明显不够充足的情况下,97% 的玩家在 50 天左右就输光,但与此同时,想依靠此路挣个上千万也不是没有可能的。
另外,别忘了这是建立在输赢五五开、没有人出千、以及赌资不设上下限的情况下的。
SHOW TIME! 赌博届的天才少年:

看看人家的纵坐标刻度,200 万一刻,啧啧啧。
实验做完了,下面开始分析:
发哥初始资金带了 50000,每次押注 100,为了方便一点我们假设他带了51200 入场
这样,在 51200 ~ 102300 这个区间,如果连续掷 9 次“小”,就还能剩下 100 ~ 51100 。也就是说,虽然连续 10 次“小“才会输光,但是连续 9 次“小”,就已经让这个策略无法继续进行。
过了这个节点,能承受的次数加 1 。
根据之前的拟合方程,大概需要 (102300 – 51200) / 46.2 = 1106.06 次赌博(#1)。
然后,我们再算一下,平均需要掷多少次骰子,才会出现一个连续 9 个“小“ ?
一般来说,这里的思维是根据递推来算,但是我今天突然撞见了 Matrix67 大神的优秀解法(#2):
设想有这么一家赌场,赌场里只有一个游戏:猜正反。游戏规则很简单,玩家下注 x 元钱,赌正面或者反面;然后庄家抛出硬币,如果玩家猜错了他就会输掉这 x 元,如果玩家猜对了他将得到 2x 元的回报(也就是净赚 x 元)。
让我们假设每一回合开始之前,都会有一个新的玩家加入游戏,与仍然在场的玩家们一同赌博。每个玩家最初都只有 1 元钱,并且他们的策略也都是相同的:每回都把当前身上的所有钱都押在正面上。运气好的话,从加入游戏开始,庄家抛掷出来的硬币一直是正面,这个玩家就会一直赢钱;如果连续 n 次硬币都是正面朝上,他将会赢得 2^n 元钱。这个 2^n 就是赌场老板的心理承受极限——一旦有人赢到了 2^n 元钱,赌场老板便会下令停止游戏,关闭赌场让我们来看看,在这场游戏中存在哪些有趣的结论。
首先,连续 n 次正面朝上的概率虽然很小,但确实是有可能发生的,因此总有一个时候赌场将被关闭。赌场关闭之时,唯一赚到钱的人就是赌场关闭前最后进来的那 n 个人。每个人都只花费了 1 元钱,但他们却赢得了不同数量的钱。其中,最后进来的人赢回了 2 元,倒数第二进来的人赢回了 4 元,倒数第 n 进来的人则赢得了 2^n 元(他就是赌场关闭的原因),他们一共赚取了 2 + 4 + 8 + … + 2^n = 2^(n+1) - 2 元。其余所有人初始时的 1 元钱都打了水漂,因为没有人挺过了倒数第 n + 1 轮游戏。
另外,由于这个游戏是一个完全公平的游戏,因此赌场的盈亏应该是平衡的。换句话说,有多少钱流出了赌场,就该有多少的钱流进赌常既然赌场的钱最终被赢走了 2^(n+1) - 2 元,因此赌场的期望收入也就是 2^(n+1) - 2 元。而赌场收入的唯一来源是每人 1 元的初始赌金,这就表明游戏者的期望数量是 2^(n+1) - 2 个。换句话说,游戏平均进行了 2^(n+1) - 2 次。再换句话说,平均抛掷 2^(n+1) - 2 次硬币才会出现 n 连正的情况。
所以,出现 n 连“小"的时候,平均掷骰子的次数的期望为: 2 ^ ( n + 1 ) – 2 次。
连续掷 9 次都是“小”,平均需要掷 2 ^ ( 9 + 1 ) – 2 = 1022 次。
而根据之前的数据,资金能成长到可以承受连续 10 次“小“,需要约 1106.06 次。
也就是说,在黎明到来之前,通常已经出现了生命不可承受之重。
即使你熬过了这个阶段,也无需骄傲,从 10 ~ 11 次的成长需要更久的时间,也带来了足够的几率将你打到。
此种策略,之所以看上去赢面非常大,实际上是因为一个非常容易忽略的原因,就是:
在这种条件下,一旦输,就是全部输光。
换言之,这个游戏从“赢,得 100 ;输,失 100”,变为了“赢,得 100 ;输,失 50000”。
赢面当然会变大!
最后啰嗦一句:
珍惜生命,远离赌博。
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沙发
发表于 2015-2-19 13:25:57 | 只看该作者
有点绕。

您开头提到的那种赌博策略,很有迷惑性,事实上真有人就是这么想的,我以前就遇到过。

玩这类游戏的关键是单次的胜率,如果单次胜率小于等于50%,不管用何种策略,最终一定剃光头,不同的只是剃光头所需的时间差异。
同样,整股这种游戏也是如此,要想久赌必赢,首要的是提高单次交易的胜率。否则一切都是空谈。
有些朋友过分强调资金管理,容易走入误区。最简单有效的资金管理,就是等分资金持仓。


点评

您已经说出来了。 重点在于对大势的判断,整股首要的就是判断牛熊大势。大势判断对了,胜率自然提高。  发表于 2015-4-1 22:24
有道理,但我没有办法提高胜率,牛市各种分析都好用,熊市万事皆休。不过我倒是认为低胜率,高赔率的海龟策略应该能打破这个谜题,您怎怎么看  发表于 2015-4-1 20:16
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板凳
发表于 2015-2-20 16:01:45 | 只看该作者
很简单的事情写得太复杂。每次下注都是一次独立的事件,输赢的概率是一样的,并不由于这样的下注方法提高了胜率。这样下注的方法,赢的次数(或说比例)确实是大了,问题是赢的利润变小了,成功的操作一次只赢100元,失败一次却是血本无归。
任何赌博最关键的还是胜率问题,如果没有超过50%的胜率,任何长期进行的赌博都不会赢的。《炒股的智慧》中的久赌必赢也是建立在单次下注的胜率提高到50%以上的前提下才成立。
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地板
发表于 2015-2-21 01:32:11 | 只看该作者
这种研究的精神值得鼓励啊
很多事情,只有深入思考/研究了才能有体会的。
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