概率论中最让你难忘的定理是什么（转帖）

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作者：25度空间
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概率论是最有实用价值的数学分支，它被广泛应用于几乎所有的行业领域，日常生活中也几乎处处都有它的应用场景。
1、伯努利大数定律：
伯努利大数定律，即在多次重复试验中，频率有越趋稳定的趋势。
在相同的条件下,进行了n次试验,在这n次试验中,事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数.比值nA/n称为事件A发生的频率,并记为fn(A).
⒈当重复试验的次数n逐渐增大时,频率fn(A)呈现出稳定性,逐渐稳定于某个常数,这个常数就是事件A的概率.这种“频率稳定性”也就是通常所说的统计规律性.
⒉频率不等同于概率.由伯努利大数定理,当n趋向于无穷大的时候,频率fn(A)在一定意义下接近于概率P(A).
通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，样本数量越多，随机事件的频率越近似于它的概率，偶然中包含着某种必然。
2、中心极限定理：
大量相互独立的随机变量，其求和后的平均值以正态分布 （即钟形曲线） 为极限。
数学定义：设从均值为μ、方差为σ^2（有限）的任意一个总体中抽取样本量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为（σ^2）/n 的正态分布。
关于正态分布的核心结论是：μ、σ为均值和标准差，那么μ±1σ、μ±2σ、μ±3σ的命中概率分别是68.3%、95.5%、99.73%！
中心极限定理最早由法国数学家棣莫弗在1718年左右发现。他为解决朋友提出的一个赌博问题而去认真研究二项分布 （每次试验只有“是/非”两种可能的结果，且两种结果发生与否互相对立） 。他发现：当实验次数增大时，二项分布 （成功概率p=0.5） 趋近于一个看起来呈钟形的曲线。后来，著名法国数学家拉普拉斯对此作了更详细的研究，并证明了p不等于0.5时二项分布的极限也是高斯分布。之后，人们将此称为棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理 。


是概率论中讨论随机变量序列部分和分布渐近于正态分布的一类定理。
比如，全国人口寿命、成年男女的身高分布、人在一天中情绪高低点对应的时间分布、金融市场中涨跌的时间周期及趋势的寿命等等，无不遵循此定理。


对于大量独立随机变量来说，不论其中各个随机变量的分布函数是什么形状，也不论它们是已知还是未知，当独立随机变量的个数充分大时，它们的和的分布函数都可以用正态分布来近似。这使得正态分布既成为统计理论的重要基础，又是实际应用的强大工具。
这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量累积分布函数逐点收敛到正态分布的积累分布函数的条件。
在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的。中心极限定理就是从数学上证明了这一现象 。
3、贝叶斯定理
非常有实用价值的概率分析法！它在大数据时代的机器学习、医学、金融市场的高胜算交易时机的把握、刑事案件的侦破中均有很高的推理价值。
贝叶斯定理由英国数学家贝叶斯发展而来，用来描述两个条件概率之间的关系，是概率统计中的应用所观察到的现象对有关概率分布的主观判断（即先验概率）进行修正的标准方法。
P(A) 事件A发生的概率，即先验概率或边缘概率
P(B) 事件B发生的概率，即先验概率或边缘概率
P(B|A) 事件A发生时事件B发生的概率，即后验概率或条件概率
P(A|B) 事件B发生时事件A发生的概率，即后验概率或条件概率
按照乘法法则：
P(A∩B) = P(A)*P(B|A)=P(B)*P(A|B)
公式变形后，得出：
P(B|A) = P(A|B)*P(B) / P(A)
贝叶斯法则的文字化表达：
后验概率 = 标准相似度 * 先验概率
注：P(A|B)/P(A) 又称标准相似度
如果我们的先验概率审定为1或0（即肯定或否定某件事发生）， 那么无论我们如何增加证据你也依然得到同样的条件概率（此时 P(A)=0 或 1 ， P(A|B)= 0或1） 这告诉我们的第一个经验就是不要过早的下论断， 下了论断你的预测也就无法进化了。
所以，公式的哲学内涵是：想让你的认知进步，就要给各种假设留一点空间。

jq鹰眼

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