赌徒“必胜方法”的悖论（转帖）

cw123en

一个赌场设有“猜大小的赌局，玩家下注后猜“大”或者猜“小，如果输了，则失去赌注，如果赢的话，则获得本金以及0.9倍的利润。 “必胜法”是这么玩的：
(1)押100猜“大”;
(2)如果赢的话，返回(1)继续;
(3)如果输的话则将赌注翻倍后继续猜“大”，因为不可能连续出现“大”，总会有获胜的时候，而且由于赌注一直是翻倍，只要赢一次，就会把所有输掉的钱赢回;
(4)只要赢了，就继续返回(1)。
题目描述的“必胜方法”本身是有问题的：
“必胜方法”里面最重要的一点，是要保证“只要有一次胜利，就可以收回之前输掉的所有赌注，外加利润 X 元”。
题目里，赢的时候只有 0.9 倍利润。如果只是翻倍下注，连续多次失败后的胜利会收不回之前输掉的赌注。
正确的“必胜方法”应当将步骤(3)修改为：
如果输，则下次押注为 ( 连续输掉的资金 + 利润 X 元 ) / 0.9
假设利润为 90 元， 前十次下注应为此数列：

但这要算起来很麻烦，下面姑且把条件改为“如果赢，则获取本金 * 2”来计算。
不妨先赌一把试试：
每局押 100 元，发哥带着 50000 的本金入场
假设每局玩 1 分钟，那么每小时 60 次，每天可以玩 360 次。
那么第一天过去呢，看下发哥战绩如何呢?

看起来战绩不错呢：

天亮时，手里的钱已经有 67500 了，日入一万七，发哥觉得自己似乎找到了生命的真谛，一张丑脸上不禁泛起了微笑。
哦，对了，为了让我们的实验更加严谨，要先商量好，如果万一连续赌输，资金不够支持下一次赌注的时候，采取什么策略。
这里采取的策略时：
下次赌注为全部余下资金，如果赌赢，那么回到(1)押100猜“大”;
采取这种策略的原因是……这样编程比较方便。
转眼又是一天过去了，来看下发哥今天战绩如何吧?
咦，发哥你怎么不到天亮就回来了?
什么，输光光?!
到底发生了什么事?!


可以看到，从第 676 次时，发哥连续遇到了 10 次“小“， 好不容易积攒起来的 8 万财富毁于一旦。
此处应该有掌声。
痛定思痛，在排除了“赌场出老千”的因素以后，发哥总归还是不太甘心的……毕竟连续掷出 10 个“小"实在是很少见。
由于本宇宙的资金已经耗尽，那么我们就派出平行宇宙的发哥再战一百回合吧!

死于第 4 天。
不甘心，再来!

死于第 15 天。
再来!

第 9 天。
再来!
不来了，直接派出 100 个发哥荒野求生吧。
20 年以后， 100 个中，能坚持自己梦想的有几人呢?
结果出来了，先展示一下个人财富 Top 5 吧：

然后放出大饼图：


如图所见，60% 的赌徒会在 5 天左右输光光，而半个月过后，还在继续的赌徒只剩 17% ，如果足够努力，闯入三甲，那账面上最多时会超过 100 万资金。
前三甲以外的朋友们，在 50 天左右全部申请破产。
另外，不得不提一下第一名这种不世出的天才，竟然坚持了 800 多天，巅峰期达到上千万，疯狂玷污实验数据……
咳咳，所以说，实验结论就是，在统计数据明显不够充足的情况下，97% 的玩家在 50 天左右就输光，但与此同时，想依靠此路挣个上千万也不是没有可能的。
另外，别忘了这是建立在输赢五五开、没有人出千、以及赌资不设上下限的情况下的。
SHOW TIME! 赌博届的天才少年：

看看人家的纵坐标刻度，200 万一刻，啧啧啧。
实验做完了，下面开始分析：
发哥初始资金带了 50000，每次押注 100，为了方便一点我们假设他带了51200 入场
这样，在 51200 ~ 102300 这个区间，如果连续掷 9 次“小”，就还能剩下 100 ~ 51100 。也就是说，虽然连续 10 次“小“才会输光，但是连续 9 次“小”，就已经让这个策略无法继续进行。
过了这个节点，能承受的次数加 1 。
根据之前的拟合方程，大概需要 (102300 – 51200) / 46.2 = 1106.06 次赌博(#1)。
然后，我们再算一下，平均需要掷多少次骰子，才会出现一个连续 9 个“小“ ?
一般来说，这里的思维是根据递推来算，但是我今天突然撞见了 Matrix67 大神的优秀解法(#2)：
设想有这么一家赌场，赌场里只有一个游戏：猜正反。游戏规则很简单，玩家下注 x 元钱，赌正面或者反面;然后庄家抛出硬币，如果玩家猜错了他就会输掉这 x 元，如果玩家猜对了他将得到 2x 元的回报(也就是净赚 x 元)。
让我们假设每一回合开始之前，都会有一个新的玩家加入游戏，与仍然在场的玩家们一同赌博。每个玩家最初都只有 1 元钱，并且他们的策略也都是相同的：每回都把当前身上的所有钱都押在正面上。运气好的话，从加入游戏开始，庄家抛掷出来的硬币一直是正面，这个玩家就会一直赢钱;如果连续 n 次硬币都是正面朝上，他将会赢得 2^n 元钱。这个 2^n 就是赌场老板的心理承受极限——一旦有人赢到了 2^n 元钱，赌场老板便会下令停止游戏，关闭赌场让我们来看看，在这场游戏中存在哪些有趣的结论。
首先，连续 n 次正面朝上的概率虽然很小，但确实是有可能发生的，因此总有一个时候赌场将被关闭。赌场关闭之时，唯一赚到钱的人就是赌场关闭前最后进来的那 n 个人。每个人都只花费了 1 元钱，但他们却赢得了不同数量的钱。其中，最后进来的人赢回了 2 元，倒数第二进来的人赢回了 4 元，倒数第 n 进来的人则赢得了 2^n 元(他就是赌场关闭的原因)，他们一共赚取了 2 + 4 + 8 + … + 2^n = 2^(n+1) - 2 元。其余所有人初始时的 1 元钱都打了水漂，因为没有人挺过了倒数第 n + 1 轮游戏。
另外，由于这个游戏是一个完全公平的游戏，因此赌场的盈亏应该是平衡的。换句话说，有多少钱流出了赌场，就该有多少的钱流进赌常既然赌场的钱最终被赢走了 2^(n+1) - 2 元，因此赌场的期望收入也就是 2^(n+1) - 2 元。而赌场收入的唯一来源是每人 1 元的初始赌金，这就表明游戏者的期望数量是 2^(n+1) - 2 个。换句话说，游戏平均进行了 2^(n+1) - 2 次。再换句话说，平均抛掷 2^(n+1) - 2 次硬币才会出现 n 连正的情况。
所以，出现 n 连“小"的时候，平均掷骰子的次数的期望为： 2 ^ ( n + 1 ) – 2 次。
连续掷 9 次都是“小”，平均需要掷 2 ^ ( 9 + 1 ) – 2 = 1022 次。
而根据之前的数据，资金能成长到可以承受连续 10 次“小“，需要约 1106.06 次。
也就是说，在黎明到来之前，通常已经出现了生命不可承受之重。
即使你熬过了这个阶段，也无需骄傲，从 10 ~ 11 次的成长需要更久的时间，也带来了足够的几率将你打到。
此种策略，之所以看上去赢面非常大，实际上是因为一个非常容易忽略的原因，就是：
在这种条件下，一旦输，就是全部输光。
换言之，这个游戏从“赢，得 100 ;输，失 100”，变为了“赢，得 100 ;输，失 50000”。
赢面当然会变大!
最后啰嗦一句：
珍惜生命，远离赌博。

路人丁

有点绕。

您开头提到的那种赌博策略，很有迷惑性，事实上真有人就是这么想的，我以前就遇到过。

玩这类游戏的关键是单次的胜率，如果单次胜率小于等于50%，不管用何种策略，最终一定剃光头，不同的只是剃光头所需的时间差异。
同样，整股这种游戏也是如此，要想久赌必赢，首要的是提高单次交易的胜率。否则一切都是空谈。
有些朋友过分强调资金管理，容易走入误区。最简单有效的资金管理，就是等分资金持仓。

无花无酒

很简单的事情写得太复杂。每次下注都是一次独立的事件，输赢的概率是一样的，并不由于这样的下注方法提高了胜率。这样下注的方法，赢的次数（或说比例）确实是大了，问题是赢的利润变小了，成功的操作一次只赢100元，失败一次却是血本无归。
任何赌博最关键的还是胜率问题，如果没有超过50%的胜率，任何长期进行的赌博都不会赢的。《炒股的智慧》中的久赌必赢也是建立在单次下注的胜率提高到50%以上的前提下才成立。

路人丁

这种研究的精神值得鼓励啊
很多事情，只有深入思考/研究了才能有体会的。